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数学归纳法是证明命题对所有正整数成立的一种重要技术。本文将介绍其两种主要形式,并通过实例展示其应用。
第一数学归纳法
第一数学归纳法通常分为三步:
归纳奠基:验证当n=1时命题成立。 归纳假设:假设当n=k时命题成立。 归纳递推:由归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。 通过这三步,可以证明命题对所有正整数n都成立。
第二数学归纳法(完整归纳法)
第二数学归纳法扩展了第一数学归纳法的应用范围:
归纳奠基:验证当n=1和n=2时命题成立。 归纳假设:假设当n≤k(k为正整数)时命题成立。 归纳递推:由归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。 通过这三步,可以证明命题对所有正整数n都成立。
例子:数列收敛问题
考虑数列{an}定义为:
- a1 = 1
- a_{n+1} + √(1 - an) = 0
证明{an}收敛,并求lim_{n→∞}an。
单调性证明
初始验证:
- a1 = 1 > a2 = 0,满足a1 > a2。
归纳假设:
归纳递推:
- 计算a_{k+1} = -√(1 - ak)。
- 由于ak < ak-1,√(1 - ak) < √(1 - ak-1),因此a_{k+1} > a_k。
通过递推可知,数列{an}单调递减。
下界证明
初始验证:
- a1 = 1 > (-1 - √5)/2 ≈ -1.618。
归纳假设:
- 假设对于某个k,ak > (-1 - √5)/2。
归纳递推:
- 计算a_{k+1} = -√(1 - ak)。
- 由于ak > (-1 - √5)/2,1 - ak < (3 + √5)/2 ≈ 1.618。
- 因此,√(1 - ak) < √((3 + √5)/2) ≈ 1.272。
- 所以,a_{k+1} = -√(1 - ak) > (-1 - √5)/2。
通过递推可知,数列{an}下界为(-1 - √5)/2。
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